看本質文稿 · 第 12 篇

¬ 這是最好懂的邏輯學入門 ∨ 你將受用終身（演繹邏輯）

2020-05-216,275 字23 分鐘#看本質文稿#邏輯系列

歡迎回到《湯質看本質》，上期聊到了反思與抽象，本期我們聊**「邏輯」**。

「邏輯」是大家非常關心的話題，市面上也有大量關於邏輯學的書，但它們總會留給我們類似的印象——理論感太強，和現實的關聯太少。

簡言之，**「邏輯知識」和「邏輯能力」的距離有點遠。**這期節目的目標，是要在它們之間搭一座小橋，咱們爭取把邏輯給“聊透”。

（手舉得略高了點）

這個目標之所以是值得爭取的，是因為視頻這種表達形式有「內容可視化」和「線索連貫性」上的優勢，很適合處理「邏輯」這種理念抽象且脈絡龐雜的對象。

我雖然不是專家，也不能重新發明邏輯學，但和往期一樣，咱們可以在內容整編和形式創意上下功夫。相信你會有所收穫。

先說說橋上有什麼。

首先，有三把利劍，即人類認識世界的三種邏輯。

我們會仔細聊聊有用又難用演繹邏輯；好用卻容易被濫用歸納邏輯和大有妙用的類比邏輯。

接著，有三枚盾牌，指人類搞懵自己的三類謬誤。

維基百科上的謬誤列表上有好幾十條謬誤，難道要一條一條記？當然要分類，在我們理解了各種邏輯與論證的關係之後，可以把謬誤分成前提謬誤、支持謬誤和相干性謬誤。

最後，還有一面鏡子，在理解了推理和謬誤的本質之後，我們拿起來劍和盾，照照鏡子，看看我們之前對邏輯有哪些誤解。這個主題中，咱們主要澄清邏輯思維與口語表達能力之間的含混關係。小標題是：邏輯與“口才”：我們對邏輯的高估與低估。

廢話少說，咱們上橋。

「邏輯」是什麼？

按照傳統，我們要劈頭蓋臉地問：什麼是「邏輯」。

為了更好地回答這個問題，需要先用一句話梳理一下上期的主線：

思維的基本單位是「概念」，我們用概念來為事物分類，建立對象。比概念更大一級的思維單位是「模型」，它可以是命題、公式、圖像和理論，模型包含多個概念，確定了對象之間的關係。

然後要順著這條主線往下問：建立對象，澄清了關係是為了幹嘛呢？

當然為了形成**「有效的判斷」**啦。所謂命題，就是「帶有（真假）判斷功能的陳述語句」。

判斷伴隨著我們的生存行為，那些被判斷為真，善，美，有利於我們的對象，趨之；被判斷為偽，惡，醜，戕害於我們的對象，避之。

那麼，邏輯的位置在哪呢？

人要處理的對象是複雜的，我們常常需要從一個命題推出另一個命題，從一個判斷中得到另一個判斷，這種從已知命題推斷出未知命題的行為叫做「推理」。在推理中，已知命題叫「前提」，未知命題叫「結論」。

隨著對象進一步複雜，我們需要同時處理諸多前提，進行各種推理，來獲得或是證明某個結論。這種系統性化的推理行為，叫做「論證」。所謂論證，就是「有推出關係的命題集合（語群）」

「邏輯」就是就確保這些推理、論證有效的規則。「邏輯學」是研究有效推理和證明原則與標準的學科。

邏輯的位置就在從概念到命題、從命題到論證的過程中。

無論是自己想清楚一件事，還是向別人說清楚一件事，還是聽別人向我們說清楚一件事，我們無時無刻不在各種尺度上進行著有意無意的推理和論證，有些有效，有些無效。有效沒效，你說了不算，邏輯說了算。

現在，我們找到了「邏輯」位置，知道了它的重要性，接下來你可能會問：該怎麼樣掌握這種規則呢？我已經迫不及待要拿起邏輯之劍斬斷心中亂麻，砍向那幫槓精了。

別急，回答這個問題之前，我們得先問一個更本質的問題：

**這個叫「邏輯」的傢伙憑什麼能確保推理和論證的有效性？**誰給它的權力？

換句話說，如果邏輯為推理提供了合法性，那它自己的合法性是從哪來的？這個問題其實是在問：**邏輯起作用的底層原理是什麼？**只有從這個層次出發，才能理解邏輯的本質。

「邏輯」憑什麼？

我們試著從認知原理的角度來回答一下這個問題：

無論是通過一個已知概念來理解一個未知概念，還從一個已知命題中推斷出一個未知命題，從根本上看，我們都是在對心智中的**「範疇」**（範疇：人類意識歸納出的各種對象的心理概念）進行操作。從老範疇中發現新範疇的過程，也是我們的認識範圍擴大的過程。

我們有三種擴大認識範圍的路徑，就是上面所說的「演繹」、「歸納」和「類比」。

「演繹」是從大範疇中獲得小范疇的推理（一般到特殊）；
「歸納」是從眾多小范疇找見大範疇的推理（特殊到一般）；
「類比」則是在相似範疇之間的進行的推理（特殊到特殊）；

雖然路徑不同，但它們本質上都是已知通往未知的推理。

我們可以從圖示上直觀地發現，只有第一種推斷是必然有效的——大範疇的存在是小范疇存在的必要條件（勘誤：視頻裡說成了充分），所以演繹是一種必然性推理。

歸納和類比則不具有這種必然有效性，事實上，邏輯學家也不用「有效性」這種定性指標來衡量它們，只說歸納的強度和類比的可接受度，屬於或然性推理，也叫「合情推理」。

古典邏輯學的創始人亞里士多德認為，邏輯的本質就是**「必然地得出」**，在這個意義上，只有演繹邏輯符合要求。所以在最經典的意義上（狹義上），邏輯學只研究演繹邏輯和基於演繹邏輯發展出來的數理邏輯，它們被統稱為形式邏輯。

我們最終會發現，邏輯的合法性來自於形式的合理性，形式的合理性最終來自於實踐的有效性。

演繹邏輯太有效了，人們用它在思維的疆域中開闢了一個絕對領域，那裡沒有任何模糊性，一切事物井井有條，所有細節環環相扣，在這個絕對領域裡，人類獲得了改天換地的實踐能力。

我們會用一整期節目拔這把演繹推理之劍，同時論證上面這個觀點。

下面進入主題：從AEIO到Alpha Go。

從AEIO與邏輯方陣

命題是概念的集合，論證的是命題的集合。AEIO是四種基本命題，它們是邏輯推理的起點。

A：全稱肯定，所有s是p
E：全稱否定，所有s不是p
I：特稱肯定，有些s是p
O：特稱否定，有些s不是p

之前舉過一個蘋果的例子：你是地球上第一個擁有自我意識的人，看到一顆蘋果，你會構建什麼樣的命題來澄清你與蘋果的關係？

你當然會不自覺地完成一個判斷：我不是蘋果。

當你得出「我不是蘋果」的結論的時候，同時也拒斥了「我是蘋果」和「一部分我是蘋果」，默認了「一部分我也不是蘋果」。

邏輯學家把這種命題關係整理出來，形成了邏輯方陣。

藉助邏輯方陣我們可以推斷出，當你說「我不是蘋果」為真時，「我是蘋果」一定為假（反對關係），而「一部分我不是蘋果」一定為真（從屬關係）。

這就是最基本的演繹推理，它沒有創造新知識，只是把預埋在前提中的結論給揪了出來。

你也許會覺得這種推理實在有些過於簡單了，矛盾、反對這不是明擺著的嗎？

學邏輯都有這樣的過程，一開始覺得很簡單，後來覺得很囉嗦，結果一不留神就看不懂了，最後一看邏輯在現實中的應用，所有人都給跪了。

所以先別覺得蠢，畢竟我們假設的世界中還只有一個蘋果，接下來，我們讓情況變得複雜一些。隨著對象越來越多，我們需要同時處理很多AEIO之間的關係，這時候，我們就需要三段論來保命了。

“簡單到不用學”的三段論

所有能吃的東西都是食物（A命題）
香蕉能吃（A）
香蕉是食物（A）
一些食物有毒（I命題）
有毒的東西吃了會死（A）
一些食物吃了會死（I）

邏輯學教材會花很多篇幅跟你講三段論，說它有各種形式，各種規則，我們今天直奔要害，問一個更重要的問題：這個所有教材都繞不過去的、“簡單到不用學”的三段論，它到底是要解決什麼問題？

亞里士多德曾認為，三段論的實質是事物中的必然因果關係在思維形式中的展現。但作為一個學過哲學知識論的現代人，我們知道「事物中」的「因果關係」是很難被直接認識的，我們只能退回到語言學的意義來理解三段論，如此，你會發現三段論其實是要解決「思維中」的「概念關係」問題。

其實，我們是在利用三段論為概念“畫圈圈”，圈定一個概念所指的「範疇」。通過明確一個概念所指的範疇大小（外延大小），來澄清它與其他概念之間的關係。

比如，我們需要一個命題來讓我們知道所有食物都可以吃，也需要一個命題來告訴我們蘋果是食物，由此畫三個圈，必然地得出蘋果可以吃的結論。

你一定會說，這種簡單的推理，三歲小孩都能做出來呀。

哲學家比我們謙虛得多，他會問：為什麼我們能必然地得出？有什麼規律可言嗎？

如果有規律，那我們豈不是能梳理出一套規則，以確保我所有的判斷都是正確有效的？

果然讓他們得逞了。

論如何正確地畫圈圈

在這個標準三段論裡，「蘋果」是小圈（即小項），「可以吃」是大圈，「食物」是中圈。

包含大圈的命題叫大前提，包含小圈的命題叫小前提，中圈必須在兩個前提中出現，但它不能體現在結論中，**它作為中介來明確大圈和小圈關係。**這是三段論的基本規則。

比如下面這個三段論就不合規矩：

一些食物吃了會死，
香蕉是食物，
一些香蕉吃了會死。

中圈「食物」沒有成為「香蕉」和「吃了會死」的中介，結論無法從前提中必然地得出。

於是哲學家們總結出了一條規則：中圈必須在前提中被完整覆蓋至少一次（即：中項在前提中至少周延一次）。

根據這條規則，我們可以把小前提改成：所有食物都是香蕉。用香蕉覆蓋死這個中圈，於是必然地得出：一些香蕉吃了會死。

由於小前提是假的，所以結論也是假的，但這個推理**「形式」卻是有效的**。

這裡要敲黑板，邏輯學上的「有效」，僅指形式的有效，內容本身是否為真，邏輯是不管的。內容本身的真假需要實證科學的結論來辯護，邏輯學屬於形式科學，形式科學只研究形式何以有效。

下面是他們的研究成果。

邏輯學家們發現，三段論中的每一段，都是四類基本命題中的一類，由此，我們能得到64種三段論組合；

根據大中小項的位置變化，三段論還可以分為四種格。如此一來，三段論就有了64*4=256種形式，而其中只有15種是有效的；

那是不是要記住這十五種有效形式呢？當然不用，類似上面「中項至少在前提中周延一次」這樣的規則一共有六條，憑著這六條，無論你智商如何，你一定能正確地畫圈圈。

但問題來了，經驗告訴我們，只要一個智商正常，不需要這六條，他大概也能正確地畫圈圈，而且效率很高。

那他們大費周章搞出256種形式是何苦呢？警惕一下，我們可能進入了有點煩的階段了，先別煩，我們讓世界進一步複雜。

上面講的三段論，也叫「詞項邏輯」。剛剛我們在詞項邏輯那裡畫圈圈，只是熱身而已，真正好玩的在命題邏輯這裡。

命題邏輯

詞項邏輯關注概念之間的關係，命題邏輯關注命題之間的關係。

命題分為兩種，基本命題和複合命題，前面的AEIO都是基本命題。

複合命題是由兩個以上的基本命題加上命題聯結詞構成的，比如：

「所有蘋果都是食物，而且食物都可以吃。」

「而且」就是那個命題聯結詞。除了而且，還有「並非」、「或者」、「如果、那麼」、「等於」等等。

人們之所以需要命題邏輯，是為了在獲知基本命題的真假之後，準確地判斷一個複合命題真假。

就像詞項邏輯窮盡了詞項間（概念）的推理規則一樣，命題邏輯的終極使命，也是要窮盡所有複合命題真假判斷的規則。

邏輯學家們又得逞了。

比如上面那個例子：

前一個基本命題「所有蘋果都是食物」，無非真假兩種可能性；

後一個基本命題「食物都可以吃」，也無非真假兩種可能性；

兩兩組合無非4種狀況，這四種情況在不同複合命題聯結詞下，有各自的真假判斷規則，而這種真假判斷規則是確定的。

這很好理解，比如在「而且」的狀況下，只有同真為真，其他情況都假；在「或者」狀況下，只有同假為假，其他情況都真。

於是，兩個基本命題，有4種真假組合狀況，理論上有16種複合命題形式，類似地，如果有3個基本命題，就會有6種真假組合狀況，256種複合命題形式。

但無論是16種還是256種，在基本命題的真假被確定之後，它們的真假都是可以被算出來的。

是的，算出來。

別推理了，我已經算出來了

不管基本命題是真是假，所有的複合命題形式下的真假狀況，已經被提前窮盡了。

在這裡，「而且」、「或」、「如果-就」這些聯結詞已經變成了特定結構的“盒子”，你朝它輸入一些東西，它根據規則，輸出一些東西。

在邏輯學家眼中，命題連接詞已經變成了一種「函數」，由於它的輸入和輸出的值要麼是真，要麼是假，所以也叫**「真值函數」。命題下面這一堆真真假假，叫做「真值表」，這種對複合命題的數學化處理的行為，叫「命題演算」**。

可這種演算有什麼意義呢？雖然在排列組合上有16種複合命題形式，但只有少數組合在日常語言中有效呀，比如這裡有個「真真真真」，相當於說有這樣一種聯結詞，無論你給出的簡單命題是真是假，在它的聯結下，複合命題永遠是真的，日常語言中是找不到這種聯結詞的。

**邏輯似乎離生活越來越來遠了。**其實只是看起來離我們越來越遠了，暗地裡，某種質變正在悄然發生。

1854年，喬治·布爾發表了大作《思維規律的研究：構成邏輯和概率的數學原理》，創立了「邏輯代數」，他發現，對邏輯命題的運算可以簡化成對符號的代數運算。

比如，真和假可以轉換為1和0，「而且」可以直接轉換為「乘」（真真為真，1*1=1，真假為假，1*0=0），「或者」就可以轉換為「加」（真假為真，1+0=1，假真為真，0+1=1），「否定」則可以轉換為「1減去」（否定真，得假，相當於1-1=0；否定假，得真，相當於1-0=1）。

邏輯學家發現，我們可以用這三個聯結詞的多次運算，來表達所有聯結詞的功能。換句話說，「且」、「或」、「非」的多次組合，足以窮盡所有複合命題的可能形式。（命題聯結詞的充足集）

比如「如果節目好看，則湯質很用心」等價於「並非節目好看，或者湯質很用心」，這裡用「否定」和「或者」（析取）代替了「如果……那麼」（蘊含）的功能。（見下圖）

什麼叫「並非節目好看，或者湯質很用心」？生活中我們不會說這樣的話，只要知道這是一種運算就夠了。

這種運算使得用數學符號這樣的人工語言來規範自然語言變成了一件可期的事，於是各路大神輪番登場，邏輯學的黃金時代由此開啟。

邏輯學的黃金時代

一方面，他們不斷地在邏輯中加入新的要素，以求它能更好地消除語言和認知的模糊性。

比如德國數學家弗雷格在命題邏輯中加入量詞，開創了「量化邏輯」（謂詞邏輯），並宣稱能用它描述和分析所有數學上的、思想上的命題。伯特蘭·羅素和懷特海則在《數學原理》中試圖用與、或、非三種邏輯為整個數學建立基礎。

另一方面，他們不斷地拓展邏輯的應用場景，要求解決更多的現實問題。

信息論的創始人香農發現，形式邏輯的判斷與計算的能力，是可以外包出去的。1936年，他發表了**《繼電器與開關電路的符號分析》**，發現布爾邏輯中的真假值可以和電路開關相對應。

線路閉合，電流通過，表示1，線路斷開，電流受阻，表示0，我們還能在電路中加入特定結構的開關，來實現且、或、非的邏輯關係，這就是電路圖上的邏輯門——與門、非門和或門。

神經科學家沃倫·麥卡洛克他發現神經元細胞要麼發射信號，要麼不發射信號，這種工作方式和布爾電路非常相似，如此一來，也許不只是判斷，包括認識在內的整個思考行為，都可以外包出去。1943年，他與沃爾特·皮茨合作發表了論文《神經活動中內在思想的邏輯演算》，提出了人工神經元的數學模型，為人工智能的誕生奠定了基礎。

早期的計算機用繼電器控制線路閉合，因為是機械結構，速度很慢，每秒只能通斷50次，後來計算機使用非機械機構的晶體管來作為通斷開關，在物理層面直接控制電流，今天的晶體管最快能達到每秒通斷幾百上千億次，要知道，這樣的晶體管只有幾十甚至幾納米大，一塊CPU上能裝上百億個。而今天在圍棋界已無敵手的Alpha go擁有1202個CPU。